chuyên đề hình học lớp 9

Giải Chuyên đề Sinh học 10 Bài 1: Công nghệ tế bào thực vật và thành tựu. Mở đầu trang 5 Chuyên đề Sinh học 10: Những cây con nhỏ xíu trong đĩa Petri ở hình bên được tái sinh từ những mẩu mô trong môi trường nuôi cấy nhân tạo. Giáo án môn Hình học 9 - Tiết 30: Luyện tập tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau. Lượt xem: 1211 Lượt tải: 0. Đề kiểm tra định kì lớp 9 năm học 2010 – 2011 môn: Hình học. Lượt xem: 407 Lượt tải: 0. Giáo án Hình học 9 - Học kì I - Tuần 5, 6. Lượt xem: 466 Lượt tải: 0 1. HÖ thøc l­îng trong tam gi¸c vu«nga) Mét sè hÖ thøc vÒ c¹nh vµ ®­êng cao trong tam gi¸c vu«ngCho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, ®­êng cao AH ta cã b2 = a. b’c2 = a. c’b2 + c2 = a2h2 = b’. c’a. h = b. c giác cân tam giác - Hai cạnh tơng ứng hai Sách 9 Chuyên đề hình học THCS và bồi dưỡng học sinh vào lớp 10 – tác giả Vũ Hữu Bình, nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam. *Xem online hoặc Download file 9 Chuyên đề hình học THCS và bồi dưỡng học sinh vào lớp 10.pdf bằng cách click vào nút Tải về dưới đây. Chuyên đề Toán lớp 9 mới nhất | Chuyên đề Toán 9 Đại số, Hình học - Tổng hợp Chuyên đề Toán lớp 9 Đại số và Hình học đầy đủ học kì 1, học kì 2 được biên soạn bám sát chương trình Toán 9 giúp bạn học tốt môn Toán lớp 9. Các chuyên đề học tập Toán 9 học kì 1. 26 Tháng Sáu, 2022 Tài liệu Toán 9. Tài liệu gồm 75 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Phạm Đình Quang, tuyển tập các chuyên đề học tập môn Toán lớp 9 giai đoạn học kì 1. Mục lục: disccompbessi1987. CHUYÊN ĐỀ 11. Đường trung bình của tam giác, của hình Đường trung tuyến của tam giác dụ 1 Cho tam giác ABC đều, đường cao AD, trực tâm H. M là điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi E, F thứ tự là hình chiếu của M trên AB và AC. Gọi I là trung điểm của AM. ID cắt EF tại DEIF là hình gì?b CM M, K, H thẳng Xác định vị trí của M trên BC để EF đạt Tìm GTNN của SDEIF biết tam giác ABC có cạnh bằng Tìm quỹ tích điểm giảiGiã sử M nằm giữa B và Da IED có IED là tam giác đều 1Chứng minh tương tự ta được IFD là tam giác đều 2. Từ 1 và 2 suy ra DEIF là hình Vì ABC đều nên trực tâm H củng là trọng tâm. Suy ra AH = P là trung điểm của AH AP = PH = HD. Suy ra IP, KH thứ tự là đường trung bình của các tam giác AMH và DIP MH // IP và KH // IP, suy ra M, K, H thẳng Vì EDK vuông tại K nên ta có EF = = 2. ED. = .DE Do đó EF đạt GTNN DE đạt GTNN DE AB M trùng với D. Có thể dùng định lý pitago để tính EF theo DE .d SDEIF = e Tìm quỹ tích của K thông qua quỹ tích của I. Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Toán 9 - Chuyên đề hình học", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trênCHUYÊN ĐỀ 1 Đường trung bình của tam giác, của hình thang. Đường trung tuyến của tam giác vuông. Ví dụ 1 Cho tam giác ABC đều, đường cao AD, trực tâm H. M là điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi E, F thứ tự là hình chiếu của M trên AB và AC. Gọi I là trung điểm của AM. ID cắt EF tại K. DEIF là hình gì? CM M, K, H thẳng hàng. Xác định vị trí của M trên BC để EF đạt GTNN. Tìm GTNN của SDEIF biết tam giác ABC có cạnh bằng a. Tìm quỹ tích điểm K. Lời giải Giã sử M nằm giữa B và D a IED có IED là tam giác đều 1 Chứng minh tương tự ta được IFD là tam giác đều 2. Từ 1 và 2 suy ra DEIF là hình thoi. b Vì ABC đều nên trực tâm H củng là trọng tâm. Suy ra AH = Gọi P là trung điểm của AH AP = PH = HD. Suy ra IP, KH thứ tự là đường trung bình của các tam giác AMH và DIP MH // IP và KH // IP, suy ra M, K, H thẳng hàng. c VìEDK vuông tại K nên ta có EF = = 2. ED.= .DE Do đó EF đạt GTNN DE đạt GTNN DEAB M trùng với D. Có thể dùng định lý pitago để tính EF theo DE . d SDEIF = e Tìm quỹ tích của K thông qua quỹ tích của I. Ví dụ 2 Cho tứ giác ABCD. Gọi A/, B/, C/, D/ lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC. CMR AA/, BB/, CC/, DD/ đồng qui. Lời giải Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của BD, AC và A/C. Ta có + NI là đường trung bình của AA/C AA/ // NI. + MNI có A/ là trung điểm của MI và AA/ // NI K là trung điểm của MN. Chứng minh tương tự thì BB/, CC/, DD/ đều đi qua trung điểm K của MN AA/, BB/, CC/, DD/ đồng qui tại K. Bài tập CMR Trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của một tam giác cùng nằm trên một đường thẳng. Cho đoạn thẳng AC và điểm B nằm giữa A và C. Vẽ các tam giác vuông cân ABD và BCE trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là AC. Gọi I là trung điểm của AC. Tam giác IDE là tam giác gì? Vì sao? - CHUYÊN ĐỀ 2 Định lí Talet và hệ quả Tam giác đồng dạng Hệ thức lượng trong tam giác vuông * Những điểm lưu ý 1- Định lý Talet và tam giác đồng dạng chỉ đề cập tới tỉ số của hai đối tượng cùng loại cùng là độ dài, cùng là diện tích, 2- Đối với các bài toán cần thực hiện phép toán ta thường dùng định lí Talet hoặc tính chất của tam giác đồng dạng để biến đổi sao cho N = N/ . Trong hình học rất hiếm khi ta thực hiện phép nhân chéo . 3- Đối với bài toán cần thực hiện phép toán ta thường biến đổi , trong đó N = M/. 4- Đối với bài toán cần chứng minh đẳng thức có dạng ta cần tìm các đoạn thẳng M = N = P và chứng minh lúc này ta có thể dùng định lí Talet hoặc tính chất của tam giác đồng dạng. 5- Đối với bài toán cần chứng minh đẳng thức dạng = + ta thường tách b = x +y và chứng minh = và = 6- Đối với bài toán cần chứng minh đẳng thức dạng a2 = + làm tương tự như trên. Ví dụ 3 Cho D, E, F lần lượt nằm trên các cạnh BC, AC, AB của tam giác ABC sao cho AD, BE, CF đồng qui tại M. Chứng minh rằng . * Định hướng Cần chuyển các tỉ số ở vế phải về cùng mẫu. Lời giải Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt BE và CF tại I và K. Áp dụng định lí Talet ta có và 1 2. Từ 1 và 2 suy ra đpcm. Ví dụ 4 Cho tam giác ABC. Một đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác cắt tia BC và các cạnh CA, AB tại D, E, F. CMR . Định hướng xem lưu ý 4 Lời giải Vẽ CI // FE, BK // FE CI = BK; MK = MI. định lí Talet ta có Cộng từng vế của 1 và 2 sẽ được 3. đpcm. Ví dụ 5 Cho tam giác ABC. Biết rằng đường phân giác ngoài của góc A cắt BC kéo dài tại E. CMR AE2 = EB. EC – AB. AC Phân tích tách AE = x – y thỏa mãn = EB. EC và = AB. AC 2. Giã sử tồn tại M thuộc EA để EA. EM = EB. EC . Lời giải Lấy M thuộc tia đối của tia AE sao cho . suy ra EA. EM = EB. EC 1. Lại có EA. AM = AB. AC 2. Lấy 1 – 2 ta có đpcm. Ví dụ 6 Cho 4 điểm theo thứ tự E, B, D, C cùng nằm trên một đường thẳng thỏa mãn và A là một điểm sao cho AE AD. CMR AD và AE thứ tự là phân giác trong và ngoài của tam giác ABC. * Định hướng - Chỉ cần chứng minh AD hoặc AE là phân giác - Vẽ đường phụ là đt song song để sử dụng gt . Cách 1 Qua B vẽ đường thẳng song song với AC cắt AD và AE tại M và N. Theo định lí Talet ta có Vì . Tam giác AMN vuông tại A có AB là trung tuyến AB = MB. Suy ra 1. Lại có vì BM // AC 2. Do đó AD là phân giác trong của ABC AE là phân giác ngoài vì AE AD . Cách 2 Qua C vẽ đt song song với AB cắt AD, AE tại M và N. Tương tự cách 1 ta cũng chứng minh được và . Ví dụ 7 Cho hình thoi ABCD có . Một đường thẳng đi qua D không cắt hình thoi nhưng cắt các đường thẳng AB, BC lần lượt tại E, F. Gọi M là giao điểm của AF và CE. CMR a EAC đồng dạng với ACF. b Lời giải a Ta có EAD đồng dạng với DCF vì AD = AC = CD . Xét EAC và ACF có và ; suy ra EAC đồng dạng với ACF b Chứng minh được ACM đồng dạng với AFC mà AC = AD nên ta có Ví dụ 8 Cho tam giác ABC vuông tại A, có . Kẻ phân giác BI. Vẽ góc về phía trong tam giác. CMR HI song song với phân giác của góc HCB. Lời giải Gọi CK là phân giác của góc HCB. Ta có đường phân giác 1. Tam giác ACH vuông tại A có , suy ra . Khi đó vì CK là phân giác của góc HCB nên ta có 2 Kẻ , vì tam giác KCB cân tại K nên CB = 2BM 3. Từ 2 và 3 đồng thời kết hợp với BMK đồng dạng với BAC suy ra 4. Từ 1 và 4 suy ra điều phải chứng minh. Bài tập Cho tam giác ABC, AD là phân giác trong của góc A DBC . CMR AD2 = – Cho hình thang ABCD BC // AD . Gọi M, N là hai điểm lần lượt trên hai cạnh AB và CD sao cho . Đường thẳng MN cắt AC và BD lần lượt ở E và F. CMR EM = FN tam giác đều ABC. Gọi D là trung điểm cạnh BC và E, F là các điểm thứ tự thuộc các cạnh AB, AC sao cho . 1. Chứng minh a BDE đồng dạng với CFD. b BE. CF không đổi c ED2 = EF. EB d EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. 2. Tìm vị trí của các điểm E, F để diện tích tam giác DEF đạt GTLN. 3. Tìm vị trí của các điểm E, F để diện tích tam giác AEF đạt GTLN. - CHUYÊN ĐỀ 3 TỨ GIÁC NỘI TIẾP Đối với tứ giác ABCD cho trước, các khẳng định sau là tương đương 1. ABCD là tứ giác nội tiếp. 2. . 3. . 4. = MB. MD trong đó M là giao điểm của AC và BD . 5. = trong đó N là giao điểm của AB và CD Cho tam giác ABC và điểm S thuộc tia đối của tia BC. Khi đó các khẳng định sau là tương đương. SA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. . SA2 = Ví dụ 9Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH H BC . Gọi I,r, J,r1, K,r2 lần lượt là các đường tròn nội tiếp ABC, AHB và AHC. CMR AI JK. BJKC là tứ giác nội tiếp. r2 = r12 + r22 Lời giải a Dễ thấy ABHM là tứ giác nội tiếp, suy ra BM AK. Tương tự CN AJ. Vậy I là trực tâm AJK, suy ra đpcm. b Ta có . vì . Ví dụ 10 Cho đường tròn tâm O và S cố định nằm ngoài O. Một cát tuyến thay đổi đi qua S cắt O tại A và B A khác B . a Đường thẳng d vuông góc với OS tại S và cắt các tiếp tuyến với O tại A và B lần lượt ở C và D. Chứng minh SC = SD. b Gọi E là giao điểm của các tiếp tuyến với đường tròn tại A và B. CMR Khi cát tuyến SAB thay đổi thì E luôn nằm trên một đường thẳng cố định; xác định đường thẳng đó. Lời giải a Từ các tứ giác nội tiếp SOBD và SAOC suy ra , từ đó suy ra SC = SD. b Vẽ EI SO. Dễ thấy SIKE là tứ giác nội tiếp, suy ra OI. OS = OK. OE 1. - Tam giác OBE vuông tại B có đường cao là BK, suy ra OK. OE = OB2 = R2 2. Từ 1 và 2 suy ra , không đổi. Vậy E nằm trên đường thẳng EI cố định chỉ hai phần đt nằm ngoài đường tròn . Ví dụ 11 Từ điểm K ở ngoài đường tròn O vẽ hai tiếp tuyến KA, KC và cát tuyến KBD với đường tròn A, C là tiếp điểm; B nằm giữa K và D . Gọi M là giao điểm của OK và AC. CMR a AB. CD = AD. BC b Tứ giác BMOD nội tiếp c Tứ giác BMOE nội tiếp E là giao AC và đường thẳng qua O vuông góc với BD . d BE là tiếp tuyến của O e I, A, C thẳng hàng với I là giao điểm các tiếp tuyến tại B và D. f AC luôn đi qua một điểm cố định khi K thay đổi trên BD cố định K ở ngoài O. Lời giải a KBA KAD KBC KA = KC đpcm b CM được KB. KD = KM. KO c Có ; suy ra đpcm. d Suy ra từ c e Có . Lại có IBMOD cùng nằm trên một đường tròn nên suy ra đpcm. f Suy ra từ e. Ví dụ 12 Từ một điểm A ngoài đường tròn tâm O, vẽ các tiếp tuyến AD, AE D, E là các tiếp điểm . Tia AO cắt đường tròn tâm O tại B, C B ở giữa A và C . Kẻ DH vuông góc với CE tại H. Gọi P là trung điểm của DH. Tia CP cắt đường tròn tâm O tại Q Q C . Gọi giao điểm của AC và DE là I. CMR DQIP là tứ giác nội tiếp đường tròn. AC là tiếp tuyến của đường tròn đi qua 3 điểm A, D, Q. Lời giải a Ta có = . b Vì, suy ra cùng phụ với . Mặt khác nên tứ giác AQIE nội tiếp đường tròn. Suy ra đpcm. Ví dụ 13 Cho tam giác ABC AB < AC có , đường phân giác trong của góc cắt BC tại D. Từ D kẻ các tia Dx // AC, Dy // AB cắt AB, AC thứ tự tại M, N. CMR MN2 = MB. NC Đường tròn ngoại tiếp tam giác MND cắt BD tại E E khác D . Gọi giao điểm của BN với CM là F. Chứng minh MBEF là tứ giác nội tiếp. Chứng minh tia EF đi qua trung điểm của MN. Lời giải a Dễ thấy AMDN là hình thoi và MDN là tam giác đều, suy ra MN2 = MD. ND 1. Mặt khác hai tam giác BMD và DNC đồng dạng với nhau, do đó MD. ND = MB. NC 2. Từ 1 và 2 suy ra đpcm. b Tứ giác MNDE nội tiếp suy ra 1 Từ a suy ra hai tam giác BMN và MNC đồng dạng với nhau; suy ra = = 2. Từ 1 và 2 suy ra đpcm. c Vì MBEF nội tiếp nên ta có 1. Chứng minh tương tự thì NCEF là tứ giác nội tiếp và ta củng chứng minh được NI2 = IF. IE 2. Từ đó suy ra IM = IN. Ví dụ 14 Cho đường tròn O và đường thẳng d không cắt nó. Điểm M thay đổi trên d, kẻ các tiếp tuyến MT, MH với O T, H là tiếp điểm . Chứng minh TH luôn đi qua một điểm cố định khi M chạy trên d. Tìm quỹ tích của điểm N là giao điểm của OM và TH. Gọi A là hình chiếu của O trên d và E, F, K thứ tự là hình chiếu của A trên MT, MH, TH. CMR E, F, K thẳng hàng. CMR EF luôn đi qua một điểm cố định khi M chạy trên d. Bài tập 1 Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M và trên CD lấy N sao cho . Gọi I, K thứ tự là giao điểm của BD với AM và AN; P là giao điểm của MK và NI. a Chứng minh AP MN. b Tính tỉ số . c Chứng tỏ MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. 2 Cho tam giác nhọn ABC có BC cố định, và nội tiếp O;R cho trước. Gọi K là giao điểm của 3 đường phân giác trong của tam giác đó. Chứng minh B, K, O, C cùng nằm trên một đường tròn, xác định tâm của đường tròn này. Xác định vị trí của A để KB + KC đạt GTLN. 3 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn O sao cho hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại T. Vẽ đường thẳng d vuông góc với OT tại T. aBiết d cắt hai đường thẳng AC và BD theo thứ tự tại M và N. CMR TM = TN. bBiết d cắt hai đường thẳng AB và CD theo thứ tự tại E và F. CMR TE = TF. 4 Cho góc vuông xOy và tam giác ABC vuông tại A; trong đó A cố định nằm trong góc xOy; B chạy trên Ox; C chạy trên Oy. Tìm quỹ tích hình chiếu vuông góc của A trên BC. CHUYÊN ĐỀ 4 KHAI THÁC BÀI TẬP HÌNH HỌC SKKN 08 – 09 1 Khai thác bài toán dựa vào cấu trúc lôgic giữa các mệnh đề hình học Ví dụ 1 Bài 30 – SGK – Trang 116 Cho nửa đường tròn O;R đường kính AB. M là điểm thuộc nửa đường tròn; tiếp tuyến của O;R tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B lần lượt ở C và D. Chứng minh rằng a . b CD = AC + BD. c AC. BD = R2. Đây là một bài toán rất quen thuộc có trong SGK – Toán 9 và hầu hết các em đều giải được. Tuy nhiên rất ít HS thấy được sự tương đương giữa các khẳng định sau CD là tiếp tuyến. . CD = AC + BD. AC. BD = R2. Thật vậy, kéo dài OD cắt AC tại E. Dễ dàng chứng minh được OD = OE , AE = BD *. + Nếu thì từ * suy ra CED cân tại C CO là phân giác của góc ECD O cách CD một khoảng bằng OA = R CD là tiếp tuyến của O;R. + Nếu CD = AC + BD thì từ * suy ra CD = CE CED cân tại C và cũng suy ra được CD là tiếp tuyến của O;R. + Nếu AC. BD = R2 thì từ * AC. AE = OA2 CED cân tại C và cũng suy ra được CD là tiếp tuyến của O;R. Dựa vào sự tương đương giữa các kết quả trên giáo viên có thể thiết kế thành nhiều bài toán khác nhau để học sinh luyện tập. Ví dụ 2 Bài 20 – SBT – Toán 9 . Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn O và M là một điểm của cung nhỏ BC. Trên MA lấy điểm D sao cho MD = MB. a Tam giác MBD là tam giác gì ? b So sánh hai tam giác BDA và BMC. c Chứng minh MA = MB + MC. Đây là bài toán rất quen thuộc , lời giải có trong SBT và nhiều tài liệu khác, kết quả cụ thể là a MBD là tam giác đều. b BDA = BMC. c MA = MB + MC. Nhận thấy rằng nếu xem + Hình H là “ Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC”. + Tính chất T là “ Trong ba đoạn MA , MB , MC có một đoạn bằng tổng của hai đoạn còn lại”. Thì ta chứng minh được 1 Mọi điểm thuộc hình H thì có tính chất T và ngược lại. 2 Những điểm không thuộc hình H thì không có tính chất T và ngược lại. Do đó giáo viên có thể ra cho HS những bài tập sau Bài 1 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn O và M là một điểm không thuộc O. Chứng minh rằng ba đoạn thẳng MA , MB , MC là độ dài ba cạnh của một tam giác. Gợi ý * Xét trường hợp điểm M nằm trong góc BAC các trường hợp khác hoàn toàn tương tự . Vẽ tam giác đều BMD MB = MD và 1. Dễ dàng chứng minh được BDA = BMC MC = DA 2. Vì M O nên 3. Từ 1, 2 và 3 suy ra A, D , M không thẳng hàng và MA , MB , MC là độ dài ba cạnh của tam giác MAD. Bài 2 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn O và M là một điểm thuộc nửa mặt phẳng không chứa A bờ BC và thỏa mãn MA = MB + MC. Chứng minh rằng ABMC là tứ giác nội tiếp. Gợi ý Làm tương tự bài toán 1 và chứng minh được MB = MD , MC = DA. Suy ra MB + MC = MA = MD + DA , suy ra ABMC là tứ giác nội tiếp. Bài toán 2 có thể diễn đạt dưới các bài tập sau Bài 3 Cho tam giác đều ABC cố định và một điểm M thuộc mặt phẳng ABC sao cho trong 3 đoạn MA , MB , MC luôn tồn tại một đoạn bằng tổng của hai đoạn kia. Chứng minh rằng điểm M chạy trên một đường tròn cố định. Bài 4 Cho tam giác đều ABC cố định và một điểm M thuộc mặt phẳng ABC. Gọi x , y , z thứ tự là khoảng cách từ M tới A , B và C. Biết rằng trong ba số x , y , z luôn có một số bằng tổng của hai số còn lại. Tìm quỹ tích điểm M. Gợi ý Vận dụng bài toán 2 để tìm ra hình H là đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC. Vận dụng ví dụ 2 để chứng minh phần đảo. Qua một số ví dụ ở trên ta thấy được nếu người dạy biết nắm bắt cấu trúc lôgic của mỗi bài toán thì sẻ tạo ra được nhiều bài toán mới , hình thành cho học sinh thói quen nhìn nhận một bài toán theo nhiều hướng khác nhau. Từ đó gúp HS phát huy được năng lực giải toán. Bây giờ ta lại tiếp cận ví dụ 2 theo hướng sau “Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O và M là một điểm thuộc cung BC không chứa A . Các khẳng định sau có tương đương với nhau hay không ? A Tam giác ABC đều. B MA = MB + MC.” Trong trường hợp này nhiều HS vẫn ngộ nhận là từ B cũng suy được ra A. Điều này là không thể . Thật vậy , xét tam giác đều BCA1 ta có MA1 = MB + MC theo . Lấy A đối xứng với A1 qua đường kính MN , suy ra A thuộc O và MA = MA1 tính chất đối xứng . Do đó với tam giác không đều ABC ta vẫn có MA = MB + MC. Để xây dựng bài toán ngược lại trong tình huống này giáo viên cần bổ sung thêm điều kiện để ràng buộc điểm A. Chẳng hạn ta phát biểu bài toán mới như sau Bài 5 Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn O; M là một điểm thuộc cung BC không chứa A. Chứng minh rằng nếu MA = MB + MC * thì ABC là tam giác đều. Gợi ý Vì tam giác ABC cân tại A nên MA là phân giác của góc BMC. Do đó 1. 2. Vì AB = AC nên từ 1 và 2 suy ra . Kết hợp với * suy ra được đpcm. 2 Khai thác bài toán mới dựa trên kết quả của bài toán cũ Trong ví dụ 2 , nếu lấy kết quả “ MA = MB + MC ” làm tiền đề cho việc khai thác các bài toán mới thì ta có các kết quả sau Bài 6 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn O cố định; M là một điểm thuộc cung nhỏ BC. Xác định vị trí của điểm M để Chu vi của tam giác MBC đạt giá trị lớn nhất. Tổng MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất. Gợi ý a Chu vi của MBC đạt giá trị lớn nhất MB + MC lớn nhất MA lớn nhất MA là đường kính M là trung điểm của cung nhỏ BC. b Làm tương tự. Nếu kết hợp với BĐT – Cô si thì ta có ngay kết quả MA = MB + MB . Dấu bằng xảy ra khi M nằm chính giữa cung nhỏ BC và khi đó MA cũng đạt giá trị lớn nhất. Từ đó ta có bài toán sau Bài 7 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn O;R cố định; M là một điểm thuộc cung nhỏ BC. Tìm giá trị lớn nhất của Nếu gọi E là giao điểm của MA và BC thì ta nhận thấy . Suy ra . Từ đó ta có bài toán Bài 8 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn O; M là một điểm thuộc cung nhỏ BC. Các đoạn thẳng MA và BC cắt nhau tại E. Chứng minh rằng . Khai thác kết quả bài toán 7, ta nhận ra rằng nếu gọi F là trung điểm cung BC thì ta có . Suy ra . Do vậy ME = AM – AE AF – AH = FH không đổi . Dấu bằng xảy ra . Từ đó ta có được bài toán như sau Bài 9 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn O; M là một điểm thuộc cung nhỏ BC. Các đoạn thẳng MA và BC cắt nhau tại E. Xác định vị trí của M trên cung nhỏ BC để đạt giá trị nhỏ nhất. Ta lại thấy rầng khi M trùng với F thì cũng đạt giá trị nhỏ nhất. Từ đó ta lại có thêm bài toán hay và khó như sau Bài 10 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn O; M là một điểm thuộc cung nhỏ BC. Các đoạn thẳng MA và BC cắt nhau tại E. Xác định vị trí của M trên cung nhỏ BC để + đạt giá trị nhỏ nhất. Ví dụ 3 Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là hình chiếu của A trên BC; I và K thứ tự là trung điểm của AH và CK. Chứng minh . Gợi ý Ta có IK là đường trung bình của tam giác AHC suy ra IK // AC IK AB. Do đó I là trực tâm của tam giác ABK, suy ra BI AK. Từ kết quả của bài toán trên ta có nhận xét sau Những đường thẳng song song với AK thì vuông góc với BI. Những đường thẳng song song với BI thì vuông góc với AK. Từ đó ta tạo các bài toán mới như sau + Gọi D là điểm đối xứng với C qua A DH song song với AK , từ kết quả của ví dụ 3 suy ra BI DH. Từ đó ta có bài toán Bài 11 Cho tam giác BCD cân tại B; đường cao BA. Gọi H là hình chiếu của A trên BC; I là trung điểm của AH. Chứng minh rằng DH BI. + Nếu tạo hình bình hành BDKI thì suy ra DK song song với BI do đó DK vuông góc với AK. Từ đó ta có bài toán mới như sau Bài 12 Cho hình thang vuông ABDC và BD = AC. Gọi H là hình chiếu của A trên BC, K là trung điểm của HC. Chứng minh rằng DK AK. Gợi ý Gọi I là trung điểm của ví dụ 3 ta có BIAK1 Vì IK là đường trung bình của tam giác HAC nên suy ra được . Tứ giác BDKI có BD // KI và BD = KI BDKI là hình bình hành; suy ra DK // BI 2. Từ 1 và 2 đpcm. + Nếu lấy E đối xứng với B qua D thì tứ giác ABEC là hình chử nhật từ đó ta có bài toán sau Bài 13 Cho hình chữ nhật ABEC. Gọi H là hình chiếu của A trên BC; D và K thứ tự là trung điểm của BE và HC. Chứng minh rằng AK DK. Giải tương tự bài 12 . Xem xét kỹ ví dụ 3 ta thấy kết quả bài toán không hề thay đổi khi ta thay đường trung bình IK bằng đường thẳng song song với AC. Với cách tiếp cận này thì ví dụ còn được khai thác theo hướng sau. 3 Chuyển từ quan hệ bằng nhau sang quan hệ đồng dạng để có bài toán mới Với hướng này thì ví dụ 3 có thể diễn đạt như sau Bài 14 Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là hình chiếu của A trên BC; I và K thứ tự là hai điểm thuộc AH và CK sao cho . Chứng minh . Gợi ý Vì KI // AC Talet đảo mà ACAB KIAB. Suy ra I là trực tâm của tam giác ABK BIAK. Từ các bài toán 11 , 12 , 13 giúp ta có thêm các bài toán sau Bài 15 Cho tam giác nhọn BDC đường cao BA. Gọi H là hình chiếu của A trên BC; I là một điểm thuộc đoạn AH sao cho . Chứng minh rằng DHBI. Gợi ý - Vẽ IK // AC BIAK 1. - Chứng minh được DH // AK nhờ vào định lý Talet đảo 2. Bài 16 Cho hình thang vuông ABDC và AC = m; BD = n. Gọi H là hình chiếu của A trên BC, K thuộc đoạn HC sao cho . Chứng minh rằng DKAK. Gợi ý Từ K vẽ KI // AC // BDKIAB; suy ra I là trực tâm của tam giác ABK BIAK 1. Vì IK // AC IK = BD. Tứ giác BDKI có BD = IK và BD // IK BDKI là hình bình hành DK // BI 2. Từ 1 và 2 DKAK. Bài 17 Cho hình chử nhật ABEC. Gọi H là hình chiếu của A trên BC; Trên các đoạn BE và HC lấy các điểm D và K sao cho . Chứng minh rằng AK DK. Giải tương tự bài 16 . BÀI TẬP Cho tam giác ABC cố định có . Gọi D là trung điểm cạnh BC; đường tròn O tiếp xúc với AB , AC thứ tự tại I và K. E , F thứ tự là hai điểm thay đổi trên AB và AC. Xét mối quan hệ giữa các khẳng định sau để tạo ra các bài toán tương tự. a . b EF là tiếp tuyến của đường tròn D;DI. c ED2 = EF. EB. d Chu vi của AEF bằng AI + AK . Tài liệu gồm 130 trang, tuyển chọn các bài tập Hình học 9 theo chủ đề, giúp học sinh lớp 9 rèn luyện thi học chương trình Toán 9 phần Hình đề 1. Hệ thức liên hệ trong tam giác vuông. Chủ đề 2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông. Chủ đề 3. Sự xác định đường tròn. Đường kính và dây của đường tròn. Chủ đề 4. Dây – khoảng cách từ tâm tới dây. Chủ đề 5. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn. Tiếp tuyến của đường tròn. Chủ đề 6. Vị trí tương đối của hai đường tròn. Chủ đề 7. Tổng ôn chương 2 Hình học 9. Chủ đề 8. Góc ở tâm – số đo cung. Liên hệ giữa cung và dây. Chủ đề 9. Góc nội tiếp. Chủ đề 10. Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây. Chủ đề 11. Góc có đỉnh bên trong đường tròn. Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn. Chủ đề 12. Cung chứa góc. Chủ đề 13. Tứ giác nội tiếp. Chủ đề 14. Độ dài đường tròn. Cung tròn. Diện tích hình tròn. Hình quạt tròn. Chủ đề 15. Tổng ôn chương 3 Hình học 9. File WORD dành cho quý thầy, cô TẢI XUỐNG Tài Liệu Toán 9Ghi chú Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên bằng cách gửi về Facebook TOÁN MATH Email [email protected] BÀI VIẾT LIÊN QUAN Tài liệu gồm 312 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Nguyễn Hoàng Việt giáo viên Toán trường THPT Lương Thế Vinh, tỉnh Quảng Bình, tuyển tập các chuyên đề nâng cao và phát triển Hình học LỤC Chương 1. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG 1. Bài 1. HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO 1. A Kiến thức cần nhớ 1. B Các ví dụ 1. C Luyện tập 5. Bài 2. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN 15. A Kiến thức cần nhớ 15. B Các ví dụ 16. C Luyện tập 17. Bài 3. HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG 21. A Kiến thức cần nhớ 21. B Các dạng toán 21. + Dạng 1. Giải tam giác vuông 21. + Dạng 2. Tính cạnh và góc của tam giác 22. + Dạng 3. Toán thực tế 23. C Luyện tập 24. Bài 4. ÔN TẬP CHƯƠNG 1 29. A Kiến thức cần nhớ 29. B Bài tập trắc nghiệm 29. C Bài tập tự luận 46. Bài 5. ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT. 61. A Đề số 1A Tự luận dành cho học sinh đại trà 61. B Đề số 1B Tự luận dành cho học sinh đại trà 63. C Đề số 2A Trắc nghiệm kết hợp tự luận dành cho học sinh đại trà 66. D Đề số 2B Trắc nghiệm kết hợp tự luận dành cho học sinh đại trà 66. E Đề số 3A Tự luận dành cho học sinh giỏi 70. F Đề số 3B Tự luận dành cho học sinh giỏi 72. Chương 2. ĐƯỜNG TRÒN 76. Bài 1. Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn 76. A Tóm tắt lí thuyết 76. B Các ví dụ 77. C Luyện tập 80. Bài 2. Đường kính và dây của đường tròn 88. A Tóm tắt lí thuyết 88. B Các ví dụ 88. C Luyện tập 92. Bài 3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây 96. A Tóm tắt lí thuyết 96. B Các ví dụ 96. C Luyện tập 99. Bài 4. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn 104. A Tóm tắt lí thuyết 104. B Các ví dụ 105. C Luyện tập 107. Bài 5. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn 110. A Tóm tắt lí thuyết 110. B Các ví dụ 110. C Luyện tập 113. Bài 6. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau 117. A Tóm tắt lí thuyết 117. B Các ví dụ 118. C Luyện tập 123. Bài 7. Vị trí tương đối của hai đường tròn 127. A Tóm tắt lí thuyết 127. B Các ví dụ 128. C Luyện tập 133. Bài 8. Ôn tập chương II 140. A Các ví dụ 140. B Luyện tập 148. Chương 3. GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN 160. Bài 1. Góc ở tâm. Số đo cung 160. A Tóm tắt lí thuyết 160. B Các ví dụ 161. C Luyện tập 162. Bài 2. Liên hệ giữa cung và dây 165. A Tóm tắt lí thuyết 165. B Các ví dụ 165. C Luyện tập 167. Bài 3. Góc nội tiếp 170. A Tóm tắt lí thuyết 170. B Các ví dụ 170. C Luyện tập 174. Bài 4. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung 178. A Tóm tắt lí thuyết 178. B Các ví dụ 178. C Luyện tập 181. D Thử thách 188. Bài 5. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn. Góc có đỉnh ở bên ngoài đường. tròn 191. A Tóm tắt lí thuyết 191. B Các ví dụ 191. C Luyện tập 195. Bài 6. Cung chứa góc 200. A Tóm tắt lí thuyết 200. B Các ví dụ 201. C Luyện tập 204. Bài 7. Tứ giác nội tiếp 209. A Tóm tắt lí thuyết 209. B Các ví dụ 210. C Luyện tập 215. Bài 8. Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp 222. A Tóm tắt lí thuyết 222. B Các ví dụ 222. C Luyện tập 224. Bài 9. Độ dài đường tròn, cung tròn 229. A Tóm tắt lý thuyết 229. B Các ví dụ 229. C Luyện tập 232. Bài 10. Diện tích hình tròn, hình quạt tròn 236. A Tóm tắt lí thuyết 236. B Các ví dụ 237. C Luyện tập 239. Bài 11. Ôn tập chương III 244. Chương 4. HÌNH TRỤ – HÌNH NÓN – HÌNH CẦU 269. Bài 1. Hình trụ. Diện tích xung quanh và thể tích hình trụ 269. A Tóm tắt lí thuyết 269. B Các ví dụ 269. C Luyện tập 272. Bài 2. Hình nón – Hình nón cụt – Diện tích xung quanh và thể tích của hình. nón, hình nón cụt 277. A Tóm tắt lí thuyết 277. B Các ví dụ 279. C Luyện tập 281. Bài 3. Hình cầu – Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu 285. A Tóm tắt lí thuyết 285. B Các ví dụ 285. C Luyện tập 287. Bài 4. Ôn tập chương IV 291. A Các ví dụ 291. B Luyện tập 295. Tài Liệu Toán 9Ghi chú Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên bằng cách gửi về Facebook TOÁN MATH Email [email protected] BÀI VIẾT LIÊN QUAN Cuốn sách "Các Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Hình Học Lớp 9" do tác giả Nguyễn Trung Kiên biên soạn dành cho các em học sinh khá giỏi luyện thi, nắm chắc các chuyên đề trọng tâm trong chương trình toán hình học 9, từ đó giúp các em đạt điểm cao trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp Huyện - Tỉnh - Thành phố và ôn luyện vào lớp 10 chuyên Toán. Nội dung cuốn sách được chia làm 4 phần với 12 chủ đề từ cơ bản đến nâng caoPhần 1 Những kiến thức cơ bản và cách vận dụngPhần 2 Kiến thức nâng caoPhần 3 Các bài tập rèn luyện theo từng chủ đề cơ bảnPhần 4 Các bài tập rèn luyện nâng caoCLICK LINK DOWNLOAD WORD TẠI ĐÂY.

chuyên đề hình học lớp 9